В одном очень дружном классе перед первым уроком каждый ученик поприветствовал рукопожатием всех своих одноклассников. В школу пришли 64 ученика. Число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?

Пусть мальчиков было \(b\), а девочек — \(g\). Тогда \(b+g=64\).

Рукопожатий между ребятами одного пола: \(\frac{b(b-1)}{2}+\frac{g(g-1)}{2}\). Между мальчиками и девочками: \(bg\). Приравняем эти выражения:

\(\frac{b(b-1)+g(g-1)}{2}=bg\).

После умножения на 2 и преобразования получаем \((b-g)^2=b+g=64\), поэтому \(|b-g|=8\). Вместе с условием \(b+g=64\) это даёт две возможности: мальчиков 28 или 36.

Ответ: 2