В одной из областей некоторой страны 12 населённых пунктов. Между каждыми двумя из них проложена автодорога. После закрытия на ремонт части дорог оказалось, что по-прежнему из любого населённого пункта этой области можно добраться по автодорогам в любой другой пункт этой области. Какое наибольшее число дорог могло быть закрыто на ремонт?

Разбираемся:

1. Шаг 1: Вычисляем общее количество дорог.

   В области 12 населённых пунктов. Между каждыми двумя из них проложена дорога. Это задача на комбинации, так как порядок не важен. Используем формулу для числа сочетаний из n элементов по k:

   \[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

   В нашем случае n = 12 (количество населённых пунктов), k = 2 (выбираем пару для дороги):

   \[C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66\]

   Всего 66 дорог.

2. Шаг 2: Определяем минимальное количество дорог, чтобы все пункты были связаны.

   Чтобы все 12 пунктов были связаны, достаточно 11 дорог (минимальное связующее дерево). Это как линия, соединяющая все точки.

3. Шаг 3: Вычисляем максимальное количество дорог, которые можно закрыть.

   Чтобы найти, сколько дорог можно закрыть, вычитаем минимальное необходимое количество дорог из общего количества дорог:

   66 (всего дорог) - 11 (минимально нужно) = 55 дорог.