В окружность радиуса 25 вписана трапеция, основания которой равны 14 и 48, причем центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту этой трапеции.

Пусть основания трапеции равны $$a=14$$ и $$b=48$$, а радиус окружности $$R=25$$. Высота трапеции $$h$$ состоит из двух частей, $$h_1$$ и $$h_2$$, которые являются высотами двух прямоугольных треугольников, образованных радиусом, половиной основания и частью высоты. По теореме Пифагора: $$h_1^2 + (a/2)^2 = R^2$$ и $$h_2^2 + (b/2)^2 = R^2$$.
1. Вычислим $$h_1$$: $$h_1^2 + (14/2)^2 = 25^2 \rightarrow h_1^2 + 7^2 = 25^2 \rightarrow h_1^2 + 49 = 625 \rightarrow h_1^2 = 576 \rightarrow h_1 = 24$$.
2. Вычислим $$h_2$$: $$h_2^2 + (48/2)^2 = 25^2 \rightarrow h_2^2 + 24^2 = 25^2 \rightarrow h_2^2 + 576 = 625 \rightarrow h_2^2 = 49 \rightarrow h_2 = 7$$.
3. Так как центр окружности лежит внутри трапеции, высота трапеции равна сумме $$h_1$$ и $$h_2$$. $$h = h_1 + h_2 = 24 + 7 = 31$$.