2. В окружность радиуса R с центром О вписан тре- угольник АВС (∠A = α, ∠B = β, α + β < 90°). Вокруг тре- угольника АОВ описана окружность. Найдите ее радиус. (Указание: используйте формулу sin 2a = 2sin a cos a.)

Решение:

• В треугольнике ABC угол \( \angle C = 180° - (\alpha + \beta) \).
• Так как сумма углов α + β < 90°, то угол C > 90°, то есть треугольник ABC — тупоугольный.
• Центр O окружности, описанной около треугольника ABC, лежит вне треугольника.
• Угол \( \angle AOB = 2 \angle C = 2(180° - (\alpha + \beta)) = 360° - 2(\alpha + \beta) \).
• По теореме синусов для треугольника AOB: \( \frac{AB}{\sin \angle AOB} = 2R' \), где R' — радиус окружности, описанной около треугольника AOB.
• Выразим AB через радиус описанной окружности около треугольника ABC: \( AB = 2R \sin \angle C = 2R \sin(180° - (\alpha + \beta)) = 2R \sin(\alpha + \beta) \).
• Подставим значение AB в уравнение теоремы синусов: \( \frac{2R \sin(\alpha + \beta)}{\sin(360° - 2(\alpha + \beta))} = 2R' \).
• Упростим выражение: \( \frac{2R \sin(\alpha + \beta)}{-\sin(2(\alpha + \beta))} = 2R' \).
• Тогда: \( R' = \frac{R \sin(\alpha + \beta)}{-\sin(2(\alpha + \beta))} = -\frac{R \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha + \beta)} \).
• Окончательно: \( R' = -\frac{R}{2 \cos(\alpha + \beta)} \). Поскольку радиус не может быть отрицательным, берем модуль: \( R' = \frac{R}{2 |\cos(\alpha + \beta)|} \).

Ответ: \( \frac{R}{2 |\cos(\alpha + \beta)|} \)