4. В окружность радиусом √3 вписан квадрат. На диагонали квадрата как на стороне построен правильный треугольник, и в него вписана окружность. Вычислите радиус и площадь этой окружности.

Решение:

• Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(R = \sqrt{3}\).
• Диагональ квадрата равна \(2R = 2\sqrt{3}\).
• Сторона квадрата \(a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}\).
• Диагональ квадрата является стороной равностороннего треугольника, то есть сторона треугольника равна \(2\sqrt{3}\).
• Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1\).
• Площадь окружности равна \(S = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi\).

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 1, площадь окружности равна \(\pi\).