В окружность радиусом 6 вписан прямоугольный треугольник KLM с прямым углом L. Определите, чему равна сторона LM этого треугольника, если ∠LMK = 60°.

Задание: Прямоугольный треугольник в окружности

Дано:

• Радиус окружности: \( R = 6 \).
• Прямоугольный треугольник KLM, угол \( L = 90^{\circ} \).
• Угол \( \angle LMK = 60^{\circ} \).

Найти: длину стороны LM.

Решение:

В прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, гипотенуза является диаметром окружности. В нашем случае, так как угол \( L = 90^{\circ} \), гипотенузой будет сторона KM.

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу:

\[ KM = 2 \times R = 2 \times 6 = 12 \]

Теперь рассмотрим треугольник KLM. Мы знаем, что:

• \( \angle L = 90^{\circ} \)
• \( \angle M = \angle LMK = 60^{\circ} \)
• Гипотенуза \( KM = 12 \)

Сторона LM является прилежащим катетом к углу \( \angle M \).

Для нахождения прилежащего катета используем формулу косинуса:

\[ \cos(\angle M) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{LM}{KM} \]\[ \cos(60^{\circ}) = \frac{LM}{12} \]

Значение \( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \).

Подставляем значение косинуса:

\[ \frac{1}{2} = \frac{LM}{12} \]

Чтобы найти LM, умножим обе стороны на 12:

\[ LM = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \]

Ответ: сторона LM равна 6.

Ответ: 6