12. В окружность с диаметром АВ вписан треугольник АMN так, что точки М и N лежат с разных сторон относительно АВ. Найди угол MN А, если известно, что угол МАВ = 35°.

Понимание условия

Основные свойства

• Угол, опирающийся на диаметр, равен \( 90^{\circ} \).
• Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Решение

• Так как \( AB \) – диаметр, угол \( ANB = 90^{\circ} \) (угол, опирающийся на диаметр).
• Рассмотрим треугольник \( ANB \). Угол \( NAB = 35^{\circ} \). Тогда угол \( NBA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).
• Угол \( NBA \) и угол \( MNA \) опираются на одну и ту же дугу \( MA \). Следовательно, \( \angle MNA = \angle NBA = 55^{\circ} \).