В окружность вписали четырёхугольник, у которого три стороны равны, а четвёртая равна радиусу окружности. Найдите углы четырёхугольника, если он не содержит центра этой окружности. В ответе запишите величину большего угла.

Пусть окружность имеет радиус R. Три стороны четырехугольника равны между собой, обозначим их как a, а четвертая сторона равна радиусу, то есть R. Так как три стороны четырехугольника равны, то они стягивают равные дуги. Обозначим центральный угол, опирающийся на эти дуги, как α.

Четвертая сторона четырехугольника равна радиусу окружности, следовательно, она стягивает дугу, на которую опирается центральный угол в 60 градусов. Таким образом, мы имеем:

$$ 3\alpha + 60^\circ = 360^\circ $$

Решим уравнение относительно α:

$$ 3\alpha = 300^\circ $$ $$ \alpha = 100^\circ $$

Теперь рассмотрим углы четырехугольника. Пусть углы, опирающиеся на стороны a, равны. Тогда, чтобы найти угол, опирающийся на сторону R, нужно рассмотреть другие дуги.

Два угла четырехугольника опираются на дуги, образованные стороной R и двумя сторонами a, а два других - на три стороны a.

Рассмотрим случай, когда четырехугольник не содержит центр окружности.

Угол, опирающийся на дугу, образованную стороной R и двумя сторонами a, равен:

$$ \frac{60^\circ + 100^\circ + 100^\circ}{2} = \frac{260^\circ}{2} = 130^\circ $$

Угол, опирающийся на дугу, образованную тремя сторонами a, равен:

$$ \frac{100^\circ + 100^\circ + 100^\circ}{2} = \frac{300^\circ}{2} = 150^\circ $$

Таким образом, два угла четырехугольника равны 130°, а два других - 150°.

Наибольший угол равен 150°.

Ответ: 150