В окружность вписан остроугольный равнобедренный треугольник SDF с основанием SF. Чему равны углы треугольника, если дуга, на которую опирается угол SDF, равна 72°?

Решение:

Рассмотрим треугольник SDF, вписанный в окружность. Основанием треугольника является сторона SF.

Угол SDF опирается на дугу SF. По условию, эта дуга равна 72°.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, угол SDF равен:

\[ \angle SDF = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } SF = \frac{1}{2} \cdot 72^{\circ} = 36^{\circ} \]

Треугольник SDF равнобедренный с основанием SF. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, углы ∠S и ∠F равны.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Для треугольника SDF:

\[ \angle S + \angle F + \angle SDF = 180^{\circ} \]

Так как ∠S = ∠F, можем записать:

\[ 2 \angle S + \angle SDF = 180^{\circ} \]

Подставим значение ∠SDF:

\[ 2 \angle S + 36^{\circ} = 180^{\circ} \]

Решим уравнение относительно ∠S:

\[ 2 \angle S = 180^{\circ} - 36^{\circ} \]\[ 2 \angle S = 144^{\circ} \]\[ \angle S = \frac{144^{\circ}}{2} = 72^{\circ} \]

Таким образом, ∠S = 72° и ∠F = 72°.

Ответ: ∠D = 36°, ∠S = 72°, ∠F = 72°.