23. В окружность вписан треугольник АВС . Известно, что ∠A = 52°, ∠B = 68° и АВ = 5√3. Найди радиус данной окружности.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности.

1. Найдем угол ∠C треугольника ABC:

Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно,

$$∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 52° - 68° = 60°$$

2. Используем теорему синусов для стороны AB и угла ∠C:

$$\frac{AB}{\sin{∠C}} = 2R$$

где R - радиус описанной окружности.

3. Подставим известные значения:

$$\frac{5\sqrt{3}}{\sin{60°}} = 2R$$

4. Значение синуса угла 60° равно $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$:

$$\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$$

5. Решим уравнение относительно R:

$$5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R$$ $$10 = 2R$$ $$R = 5$$

Таким образом, радиус данной окружности равен 5.

Ответ: 5