15. В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.

Т.к. дуги AB и CD равны, то хорды AB и CD равны.

Т.к. О - середина хорды АС, то АО = ОС.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них АО = ОС, АВ = CD и ∠OAB = ∠OCD (т.к. опираются на равные дуги). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда BO = OD, а значит О - середина хорды BD.

Ответ: Доказано, что О — середина хорды BD.