В окружности две хорды MN и CD пересекаются в точке E. Найдите градусную меру угла MEC, если ∠MNC = 44°, ∠NMD = 56°.

Решение:

Угол \( \angle MEC \) является углом между пересекающимися хордами. Его градусная мера равна полусумме градусных мер дуг, которые он заключает.

Угол \( \angle MNC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу MC. Следовательно, градусная мера дуги MC равна удвоенной мере этого угла: \( \text{arc}(MC) = 2 \cdot \angle MNC = 2 \cdot 44^{\circ} = 88^{\circ} \).

Угол \( \angle NMD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу ND. Следовательно, градусная мера дуги ND равна удвоенной мере этого угла: \( \text{arc}(ND) = 2 \cdot \angle NMD = 2 \cdot 56^{\circ} = 112^{\circ} \).

Угол \( \angle MEC \) вертикален углу \( \angle NED \). Градусная мера угла \( \angle MEC \) равна полусумме градусных мер дуг MC и ND, так как он опирается на эти дуги (вертикальные углы). Угол \( \angle MEC \) и \( \angle NED \) вместе опираются на дуги MC и ND.

Формула для угла между пересекающимися хордами: \( \angle MEC = \frac{1}{2} (\text{arc}(MC) + \text{arc}(ND)) \).

Подставим найденные значения: \( \angle MEC = \frac{1}{2} (88^{\circ} + 112^{\circ}) = \frac{1}{2} (200^{\circ}) = 100^{\circ} \).

Ответ: 100°.