В окружности проведена хорда AB, равная 3/2 ее радиуса. Точка M, лежащая на этой хорде, делит ее в отношении 1:2. Вычислите диаметр окружности, если расстояние от точки M до центра окружности равно √2 см.

Пусть радиус окружности равен R, тогда AB = 3R/2. Так как точка M делит хорду AB в отношении 1:2, то AM = (1/3) * AB = (1/3) * (3R/2) = R/2. Расстояние от точки M до центра окружности равно √2. Пусть O - центр окружности. Рассмотрим треугольник AOM. По теореме косинусов: OM^2 = AO^2 + AM^2 - 2 * AO * AM * cos(A). cos(A) = (AB^2 + AO^2 - BO^2) / (2 * AB * AO) = (9R^2/4 + R^2 - R^2) / (2 * (3R/2) * R) = (9R^2/4) / (3R^2) = 3/4. Подставляем в теорему косинусов: 2 = R^2 + R^2/4 - 2 * R * R/2 * (3/4) = R^2 + R^2/4 - 3R^2/4 = (4R^2 + R^2 - 3R^2) / 4 = 2R^2/4 = R^2/2. R^2 = 4, R = 2. Диаметр окружности равен 2R = 4 см.