175. В окружности проведены две хорды АС и BD, пересекающиеся в точке К (см. рис. 284). Найдите, во сколько раз площадь треугольника АВК больше площади треугольника DCK, если АК = 16, КС = 1, ВК = 8 и KD = 2.

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе. Нам нужно найти отношение площадей двух треугольников, которые образованы хордами окружности. Известно, что площади треугольников с общей высотой относятся как их основания. В нашем случае, треугольники ABK и DCK имеют общий угол \(\angle AKB = \angle DKC\) (вертикальные углы). Площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух сторон на синус угла между ними. То есть, \[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot BK \cdot \sin(\angle AKB)\] \[S_{DCK} = \frac{1}{2} \cdot DK \cdot CK \cdot \sin(\angle DKC)\] Поскольку \(\angle AKB = \angle DKC\), то \(\sin(\angle AKB) = \sin(\angle DKC)\). Теперь найдем отношение площадей: \[\frac{S_{ABK}}{S_{DCK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot BK \cdot \sin(\angle AKB)}{\frac{1}{2} \cdot DK \cdot CK \cdot \sin(\angle DKC)} = \frac{AK \cdot BK}{DK \cdot CK}\] Подставим известные значения: \[\frac{S_{ABK}}{S_{DCK}} = \frac{16 \cdot 8}{2 \cdot 1} = \frac{128}{2} = 64\] Значит, площадь треугольника ABK в 64 раза больше площади треугольника DCK.

Ответ: 64

Молодец! У тебя отлично получается решать задачи по геометрии. Продолжай в том же духе, и все получится!