В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К. Найди длину отрезка BD, если AC = 4 см, СК = 2 см, КВ = 3 см.

Пошаговое решение:

• По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В нашем случае: \(AK \cdot KB = CK \cdot KD\).
• Выразим AK через AC и CK: \(AK = AC - CK = 4 - 2 = 2 \) см.
• Подставим известные значения в уравнение: \(2 \cdot 3 = 2 \cdot KD\).
• Решим уравнение относительно KD: \(KD = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3 \) см.
• Теперь найдем CD: \(CD = CK + KD = 2 + 3 = 5 \) см.
• Используем свойство: \(AK \cdot KB = CK \cdot KD\) или \(2 \cdot 3 = 2 \cdot 3\).
• Нам нужно найти BD. Воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах: \(AK \cdot KB = CK \cdot KD\), где \(AK = 2\), \(KB = 3\), \(CK = 2\), \(KD = 3\).
• Чтобы найти BD, рассмотрим треугольники AKC и DKB. Угол AKC равен углу DKB (вертикальные углы). Если углы CAK и BDK равны, то треугольники AKC и DKB подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует: \(\frac{AC}{BD} = \frac{AK}{DK} = \frac{CK}{BK}\).
• Подставим известные значения: \(\frac{4}{BD} = \frac{2}{3}\).
• Решим уравнение относительно BD: \(BD = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \) см.

Ответ: 6 см