В окружности проведены параллельно друг другу две равные хорды AB и CD. Угол АВО равен 60°. Найди величину угла CDO.

Решение:

Так как хорды AB и CD равны, то дуги, на которые они опираются, тоже равны. Следовательно, центральные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны. То есть, \( \angle AOC = \angle BOD \).

Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA и OB — радиусы окружности, то OA = OB. Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \( \angle OAB = \angle OBA = 60^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, \( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Так как \( \angle AOB = 60^{\circ} \) и все углы в треугольнике AOB равны 60°, то треугольник AOB — равносторонний. Это означает, что AB = OA = OB.

По условию, хорда AB равна хорде CD (AB = CD). Так как OA = OB = OC = OD = R (радиус окружности), то AB = CD = R.

Рассмотрим треугольник COD. Так как OC и OD — радиусы окружности, то OC = OD. Следовательно, треугольник COD — равнобедренный.

Если хорды AB и CD равны, то соответствующие центральные углы равны. Так как \( \angle AOB = 60^{\circ} \), то и \( \angle COD = 60^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике COD углы при основании равны: \( \angle OCD = \angle ODC \).

Сумма углов в треугольнике COD равна 180°, значит, \( \angle OCD + \angle ODC + \angle COD = 180^{\circ} \).

\( 2 \angle ODC + 60^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle ODC = 180^{\circ} - 60^{\circ} \)

\( 2 \angle ODC = 120^{\circ} \)

\( \angle ODC = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

Таким образом, угол CDO равен 60°.

Ответ: 60°.