522. В окружности провели диаметр АВ и хорды АС и CD так, что АС = 12 см, ∠BAC = 30°, AB 1 CD. Найдите длину хорды CD.

Question

Вопрос:

522. В окружности провели диаметр АВ и хорды АС и CD так, что АС = 12 см, ∠BAC = 30°, AB 1 CD. Найдите длину хорды CD.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Для нахождения длины хорды CD, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, найдем BC, а затем рассмотрим треугольник CED, где E – точка пересечения AB и CD.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C равен 90°, так как опирается на диаметр), AC = 12 см и ∠BAC = 30°.
Тогда \(BC = AC \cdot tg(30°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\) см.
Так как AB перпендикулярна CD, то CE = ED (диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам).
В прямоугольном треугольнике AEC: \(AE = AC \cdot cos(30°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) см.
\(BE = AB - AE = 2R - AE\), где R – радиус окружности.
Радиус \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{AC}{sin(90)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{1} = 6\) см.
Тогда \(AE = 6\sqrt{3}\), значит \(BE = 2 \cdot 6 - 6\sqrt{3} = 12 - 6\sqrt{3}\) см.
Рассмотрим треугольники AEC и DEB. \(CE \cdot ED = AE \cdot EB\) (свойство пересекающихся хорд).
Так как CE = ED, то \(CE^2 = AE \cdot EB = 6\sqrt{3} \cdot (12 - 6\sqrt{3}) = 72\sqrt{3} - 108\).
\(CE = \sqrt{72\sqrt{3} - 108} = \sqrt{36(2\sqrt{3} - 3)} = 6\sqrt{2\sqrt{3} - 3}\) см.
Тогда \(CD = 2 \cdot CE = 12\sqrt{2\sqrt{3} - 3}\) см.

Ответ: \(12\sqrt{2\sqrt{3} - 3}\) см.