В окружности радиуса 15 взята точка C. Отрезок AB — диаметр, AC=12. Найти cos ∠BAC.

Решение:

1. Геометрическое построение: На рисунке изображена окружность с диаметром AB. Точка C находится на окружности. Треугольник ABC является вписанным в окружность. Так как AB — диаметр, то угол ACB — прямой (90°), то есть треугольник ABC — прямоугольный.
2. Применение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике ABC, по теореме Пифагора: AB² = AC² + BC². Нам дан радиус окружности, равный 15. Следовательно, диаметр AB = 2 * 15 = 30. AC = 12. Подставляем известные значения: 30² = 12² + BC². 900 = 144 + BC². BC² = 900 - 144 = 756. BC = \sqrt{756}.
3. Нахождение косинуса: Косинус угла BAC в прямоугольном треугольнике ABC определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB): cos(∠BAC) = AC / AB.
4. Вычисление: cos(∠BAC) = 12 / 30.
5. Упрощение дроби: cos(∠BAC) = 12/30 = 2/5.

Ответ: 2/5