В окружности с разных сторон от её центра проведены две параллельные хорды АВ = 18, CD = 24. Найдите радиус окружности, если расстояние между хордами равно 21.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( R \) — её радиус. Пусть \( AB \) и \( CD \) — параллельные хорды, лежащие по разные стороны от центра. Проведём перпендикуляры из центра \( O \) к хордам \( AB \) и \( CD \). Пусть \( OM \) — перпендикуляр к \( AB \), а \( ON \) — перпендикуляр к \( CD \). Тогда \( OM \) и \( ON \).

Поскольку \( AB \) и \( CD \) параллельны, точки \( M, O, N \) лежат на одной прямой, перпендикулярной к обеим хордам. Расстояние между хордами равно \( MN = 21 \).

Так как \( OM \) и \( ON \), то \( MN = OM + ON = 21 \).

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. Следовательно:

\( AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)

\( CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)

Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \) и \( \).

В \( \): \( OA^2 = OM^2 + AM^2 \) (по теореме Пифагора), т.е. \( R^2 = OM^2 + 9^2 \) \( R^2 = OM^2 + 81 \) (1)

В \( \): \( OC^2 = ON^2 + CN^2 \) (по теореме Пифагора), т.е. \( R^2 = ON^2 + 12^2 \) \( R^2 = ON^2 + 144 \) (2)

Из \( R^2 = OM^2 + 81 \) выразим \( OM^2 = R^2 - 81 \), откуда \( OM = \).

Из \( R^2 = ON^2 + 144 \) выразим \( ON^2 = R^2 - 144 \), откуда \( ON = \).

Подставим эти выражения в уравнение \( OM + ON = 21 \):

\( + = 21 \)

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (OM + ON)^2 = 21^2 \)

\( OM^2 + 2 OM ON + ON^2 = 441 \)

Подставим \( OM^2 = R^2 - 81 \) и \( ON^2 = R^2 - 144 \):

\( (R^2 - 81) + 2 OM ON + (R^2 - 144) = 441 \)

\( 2R^2 - 225 + 2 OM ON = 441 \)

\( 2 OM ON = 441 + 225 - 2R^2 \)

\( 2 OM ON = 666 - 2R^2 \)

\( OM ON = 333 - R^2 \)

Теперь найдём \( OM ON \) из выражений для \( OM \) и \( ON \):

\( OM ON = \)

\( OM ON = \)

Приравниваем два выражения для \( OM ON \):

\( 333 - R^2 = \)

\( 333 - R^2 = \)

\( R^2 = 333 - \)

\( R^2 = 333 - \)

\( R^2 = 333 - \)

\( R^2 = 225 \)

\( R = \) \( R = 15 \)

Ответ: 15.