3. В окружности с центром O и радиусом 5 см проведены взаимно перпендикулярные хорды MK и PT, которые пересекаются в точке A. Угол MOP равен 90°, AM = 7 см, AK = 0,5 см. Найдите AT.

Дано: Окружность с центром O, радиус R = 5 см. Хорды MK ⟂ PT, MK ∩ PT = A, ∠MOP = 90° AM = 7 см, AK = 0,5 см Найти: AT Решение: 1. Найдем длину OM и OK OM=OK=R=5 см, так как OM и OK – радиусы окружности. 2. Найдем MK и АМ + АК = МК MK = AM + AK = 7 + 0.5 = 7.5 см 3. Пусть AТ=х, тогда AP=PT-AT По свойству пересекающихся хорд: AM*AK=AP*AT \[AT \cdot AP = AM \cdot AK\] Выразим AP: \[AP = \frac{AM \cdot AK}{AT} = \frac{7 \cdot 0.5}{x} = \frac{3.5}{x}\] 4. Рассмотрим ΔMOK: OK=OM=5, ∠MOK = 90°, следовательно, ΔMOK – равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \[MK^2 = OM^2 + OK^2\] \[MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] Тогда : \[PT = MK = 5\sqrt{2} \approx 7.07\] Выразим AT и AP \[AT + AP = PT\] \[x + \frac{3.5}{x} = 5\sqrt{2}\] Умножим обе части уравнения на x: \[x^2 + 3.5 = 5\sqrt{2}x\] \[x^2 - 5\sqrt{2}x + 3.5 = 0\] Решим квадратное уравнение: D = \[(5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3.5 = 50 - 14 = 36\] \[x_1 = \frac{5\sqrt{2} + 6}{2} \approx 6.54\] \[x_2 = \frac{5\sqrt{2} - 6}{2} \approx 0.54\] Так как AM = 7, то AT не может быть 6.54, так как тогда точка T будет лежать за точкой M, что противоречит условию. Ответ: 0.54 см