Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. В окружности с центром О проведена хорда АВ (см. рис. 167). Расстояние от точки О до прямой АВ равно 5 см. Найдите радиус окружности, если АВ = 24 см. 2. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М (см. рис. 168). Найдите СМ, если MD = 4, AM = 6, MB = 8. 3. В окружности с центром О радиусом 3 см проведены диаметр АВ и хорда ВС (см. рис. 169). Найдите ВС, если угол АВС = 60°. 2. Окружность с центром О вписана в угол МСК. Найдите угол МСК, если ZMCO 38°. 3. Окружность, вписанная в треугольник АВС (см. рис. 173), делит сторону АС в точке Ғ на два отрезка: CF = 2 см и AF = 3 см. Найдите периметр треугольника АВС, если ВС = 3 см.
Ответ:
1.
\begin{enumerate}
Пусть $$O$$ — центр окружности, $$AB$$ — хорда, $$OC$$ — перпендикуляр из центра $$O$$ на хорду $$AB$$. Тогда $$OC = 5$$ см, $$AB = 24$$ см. Так как $$OC$$ перпендикулярна $$AB$$, то $$C$$ — середина $$AB$$, значит, $$AC = CB = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOC$$. По теореме Пифагора:
$$OA^2 = OC^2 + AC^2$$.
$$OA^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$.
$$OA = \sqrt{169} = 13$$ см.
$$OA$$ — радиус окружности. Следовательно, радиус окружности равен 13 см.
\end{enumerate}
Ответ: 13 см.
2.
\begin{enumerate}
По свойству пересекающихся хорд, $$AM \cdot MB = CM \cdot MD$$.
Подставим известные значения: $$6 \cdot 8 = CM \cdot 4$$.
$$48 = CM \cdot 4$$.
$$CM = \frac{48}{4} = 12$$.
\end{enumerate}
Ответ: 12.
3.
\begin{enumerate}
$$AB$$ – диаметр окружности с центром $$O$$ и радиусом $$3$$ см, $$BC$$ – хорда, $$\angle ABC = 60^\circ$$.
Треугольник $$ABO$$ равнобедренный, так как $$AO=BO$$, значит $$\angle OAB = \angle ABO = 60^\circ$$. Следовательно, треугольник $$ABO$$ – равносторонний. Тогда $$\angle AOB = 60^\circ$$.
Угол $$BOC$$ смежный с углом $$AOB$$, следовательно $$\angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$.
Треугольник $$BOC$$ равнобедренный, так как $$OB=OC=3$$ см. Значит углы при основании $$BC$$ равны. $$\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 120^\circ) div 2 = 30^\circ$$.
Проведем высоту $$OH$$ в треугольнике $$BOC$$. Тогда $$OH$$ является и медианой, значит $$BH=HC$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOH$$. $$OH = OB \cdot sin(\angle OBC) = 3 \cdot sin(30^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$$ см.
$$BH = OB \cdot cos(\angle OBC) = 3 \cdot cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$ см.
$$BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$ см.
\end{enumerate}
Ответ: $$3\sqrt{3}$$ см.
2.
\begin{enumerate}
Т.к. $$О$$ - центр окружности, вписанной в угол $$МСК$$, то $$СО$$ - биссектриса угла $$МСК$$.
Тогда $$\angle MCO = \angle OCK = 38^\circ$$.
$$\angle MCK = \angle MCO + \angle OCK = 38^\circ + 38^\circ = 76^\circ$$.
\end{enumerate}
Ответ: 76°.
3.
\begin{enumerate}
Окружность вписана в треугольник $$ABC$$ и делит сторону $$AC$$ на отрезки $$CF = 2$$ см и $$AF = 3$$ см. $$BC = 3$$ см. Нужно найти периметр треугольника $$ABC$$.
Пусть окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$D$$, а стороны $$BC$$ в точке $$E$$. По свойству касательных, проведенных из одной точки, $$AD = AF = 3$$ см, $$CF = CE = 2$$ см, $$BE = BD = BC - CE = 3 - 2 = 1$$ см.
Тогда $$AB = AD + DB = 3 + 1 = 4$$ см, $$AC = AF + FC = 3 + 2 = 5$$ см.
Периметр треугольника $$ABC$$ равен $$P = AB + BC + AC = 4 + 3 + 5 = 12$$ см.
\end{enumerate}
Ответ: 12 см.
