В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF=NK (рис.65). Докажите, что ∠MNK=∠MNF.

Дано: Окружность с центром O, диаметр MN, хорды NF = NK.

Доказать: ∠MNK = ∠MNF.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники △ONF и △ONK.
2. ON – общая сторона.
3. OF = OK как радиусы окружности.
4. NF = NK по условию.
5. Следовательно, △ONF = △ONK по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ONF = ∠ONK.
7. Рассмотрим углы ∠MNK и ∠MNF. Они являются вписанными углами, опирающимися на хорды MK и MF соответственно.
8. Так как ∠ONF = ∠ONK, то дуги, на которые опираются эти углы, также равны, то есть дуга MK = дуге MF.
9. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Следовательно, ∠MNK = ∠MNF.

Что и требовалось доказать.