4. В окружности с центром О проведены диаметры АВ и CD. а) Докажите, что ∆ADO = ACВО. б) Найдите угол СВО, если угол ODA = 42°, OAD = 42°. в) Сколько точек пересечения имеют прямые AD и СВ?

a) Доказательство:

Рассмотрим треугольники ∆ADO и ∆CBO:

1. AO = BO (как радиусы окружности),
2. DO = CO (как радиусы окружности),
3. ∠AOD = ∠BOC (как вертикальные углы).

Следовательно, ∆ADO = ∆CBO по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Решение:

Рассмотрим треугольник ∆ADO. Так как углы ODA и OAD равны 42°, то треугольник равнобедренный, и AO = DO. Но AO и DO - это радиусы окружности. Тогда CO = BO = AO = DO.

Рассмотрим треугольник ∆CBO. Он также равнобедренный, так как CO = BO. Следовательно, углы при основании равны: ∠CBO = ∠BCO.

Так как ∆ADO = ∆CBO, то ∠ODA = ∠OCB = 42°.

В треугольнике ∆CBO сумма углов равна 180°: ∠CBO + ∠BCO + ∠COB = 180°.

Угол ∠COB = ∠AOD = 180° - ∠ODA - ∠OAD = 180° - 42° - 42° = 96°.

Тогда ∠CBO + ∠BCO = 180° - 96° = 84°.

∠CBO = ∠BCO = 84° / 2 = 42°.

в) Прямые AD и CB пересекаются в одной точке.

Ответ: а) ∆ADO = ∆CBO; б) ∠СВО = 42°; в) 1