В окружности с центром O проведены две равные хорды KL и MN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.

Для доказательства равенства OH и OS, рассмотрим треугольники OKL и OMN.

1. OK = ON и OL = OM, так как это радиусы одной и той же окружности.
2. KL = MN, по условию.

Следовательно, треугольники OKL и OMN равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников OKL и OMN следует равенство углов между радиусами и хордами: ∠OKL = ∠OMN и ∠OLK = ∠ONM.

Теперь рассмотрим треугольники OKH и OOS. OH и OS - перпендикуляры, опущенные на хорды KL и MN соответственно, а значит, они являются высотами в треугольниках OKL и OMN. Поскольку треугольники OKL и OMN равны, и высоты, проведенные к соответствующим сторонам, также равны, то OH = OS.

Отсюда следует, что OH = OS.