В окружности с центром O проведены радиусы OB и OA. Угол AOB равен 30°. Прямая AC касается окружности в точке A. Найдите угол CAO.

Решение:

1. OA — это радиус окружности. По определению, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2. Следовательно, угол OAC равен 90°.

3. Угол AOB — центральный угол, равный 30°.

4. Угол CAO — это разность углов OAC и OAB. \( \angle CAO = \angle OAC - \angle OAB \).

5. Треугольник OAB — равнобедренный, так как OA = OB (радиусы). Углы при основании равны.

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 30°}{2} = \frac{150°}{2} = 75° \).

6. Теперь найдем угол CAO:

\( \angle CAO = \angle OAC - \angle OAB = 90° - 75° = 15° \).

Ответ: 15°.