В окружности с центром О провели диаметр АВ и хорды AC и CD так, что АВ ⊥ CD. При этом АС = 18 см, ∠ВАС = 30°. Найдите хорду CD.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем радиус окружности. В треугольнике ABC, угол ACB равен 90° (так как опирается на диаметр). Используем теорему синусов: \( \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R \). В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle ABC = 90° - \angle BAC = 90° - 30° = 60° \). Следовательно, \( \frac{18}{\sin(60°)} = 2R \)
   \( 2R = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \) см. Радиус окружности \( R = 6\sqrt{3} \) см.
2. Шаг 2: Найдем длину хорды CD. Так как AB ⊥ CD, то точка пересечения хорды CD и диаметра AB делит хорду пополам. Пусть точка пересечения будет H. В треугольнике ACH, \( \angle HAC = 30° \). Мы знаем, что AC = 18 см.
3. Шаг 3: Найдем длину AH. В треугольнике ACH, \( AH = AC \cos(30°) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.
4. Шаг 4: Найдем длину CH. В треугольнике ACH, \( CH = AC \sin(30°) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) см.
5. Шаг 5: Найдем длину CD. Так как AB ⊥ CD, то H является серединой CD. Значит, \( CD = 2 \cdot CH \).
6. Шаг 6: Вычисляем CD. \( CD = 2 \cdot 9 = 18 \) см.

Ответ: 18 см