3. В окружности с центром О провели хорду АВ и диаметр CD перпендикулярный хорде АВ и пересекающий её в точке М. Найдите длину отрезка ОМ, если АВ=12 см, ∠AOB=90°.

Решение:

• Пусть радиус окружности равен R, тогда OA = OB = R.
• Так как ∠AOB = 90°, то треугольник AOB – прямоугольный и равнобедренный.
• Из теоремы Пифагора: \(AB^2 = OA^2 + OB^2\)
• По условию, AB = 12 см, тогда: \(12^2 = R^2 + R^2\)
• \(144 = 2R^2\)
• \(R^2 = 72\)
• \(R = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) см
• Так как CD перпендикулярен AB и пересекает её в точке M, то AM = MB = AB/2 = 12/2 = 6 см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO. AO = R = \(6\sqrt{2}\), AM = 6 см. Найдем OM по теореме Пифагора: \(OM^2 = AO^2 - AM^2\)
• \(OM^2 = (6\sqrt{2})^2 - 6^2 = 72 - 36 = 36\)
• \(OM = \sqrt{36} = 6\) см

Ответ: ОМ = 6 см