В окружности с центром в точке О диаметр КМ и хорда P R пересекаются в точке Q под прямым углом. Найди периметр треугольника ОР R, если QP = 6 см, а ∠OP R = 60°. Запиши в поле ответа верное число. CM

Ответ: 36

Решение:

Так как хорда PR пересекает диаметр KM под прямым углом в точке Q, то треугольник OQR является прямоугольным.

Дано: QP = 6 см, ∠OPR = 60°.

Найти: Периметр треугольника OPR.

Шаг 1: Определим углы треугольника OPR.

• ∠OPR = 60° (дано).
• Так как OP и OR - радиусы окружности, то OP = OR, и треугольник OPR - равнобедренный.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠ORP = ∠OPR = 60°.
• ∠POR = 180° - ∠OPR - ∠ORP = 180° - 60° - 60° = 60°.
• Все углы треугольника OPR равны 60°, следовательно, треугольник OPR - равносторонний.

Шаг 2: Найдем сторону OR.

• Рассмотрим прямоугольный треугольник OQR.
• ∠ORQ = 60°.
• ∠ROQ = 90° - 60° = 30°.
• QP = 6 см.
• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• OQ = 1/2 * OR, следовательно OR = 2 * OQ
• OR = OP (радиусы)

Шаг 3: Найдем сторону OQ.

• OQ = OR - QR, тогда QR = OR - OQ
• Пусть OQ = x, тогда OR = 2x.
• Тогда QR = 2x - x, QR = x.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник PQR.
• По теореме Пифагора: QR^2 + QP^2 = PR^2
• x^2 + 6^2 = PR^2

Шаг 4: Найдем сторону PR.

• В прямоугольном треугольнике PQR.
• tg ∠ORP = QP / QR
• tg 60° = 6 / QR
• √3 = 6 / QR
• QR = 6 / √3 = 6√3 / 3 = 2√3

Шаг 5: Найдем сторону OR.

• OQ = QR, следовательно OQ = 2√3
• OR = 2 * OQ = 2 * 2√3 = 4√3
• PR = OR = OP = 4√3

Шаг 6: Найдем периметр треугольника OPR.

• Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон:
• P = OP + PR + OR = 4√3 + 4√3 + 4√3 = 12√3

Шаг 7: Найдем периметр треугольника OPR, если QP = 6 см, а ∠OPR = 60°.

• Треугольник OPR - равносторонний.
• ∠OPR = 60°.
• В прямоугольном треугольнике OQR.
• QR = QP / tg ∠ORP, QR = 6 / tg 60°, QR = 6 / √3, QR = 2√3.
• OR = QR / cos ∠ROQ, OR = QR / cos 30°, OR = 2√3 / (√3 / 2), OR = 4.
• OP = PR = OR = 4.
• Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон:
• P = OP + PR + OR = 12.

Шаг 8: Другое решение, если QP = 6 см, а ∠OPR = 60°.

• Если QP = 6 см, то рассмотрим треугольник PQR.
• ∠Q = 90°.
• ∠R = 60°.
• QR = QP / tg ∠R, QR = 6 / √3, QR = 2√3.
• Рассмотрим треугольник OPR.
• OH - высота, медиана, биссектриса.
• ∠OPH = 30°.
• OP = 2 * QH, OP = 12.
• P = OP + PR + OR = 12 + 12 + 12 = 36.

Ответ: 36