В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 148°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Следовательно, градусная мера дуги AD равна градусной мере центрального угла, то есть \( \text{arc}(AD) = 148^{\circ} \).

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол BOC является вертикальным к углу AOD, поэтому \( \angle BOC = \angle AOD = 148^{\circ} \). Это некорректно, так как AOD — тупой угол, а ACB — острый. Проверим условие: AC и BD — диаметры. Следовательно, угол BOC и угол AOD являются смежными (или вертикальными, в зависимости от расположения точек, но здесь они смежные), а не вертикальными. Так как AC и BD — диаметры, то они пересекаются в центре O. Углы AOD и BOC — вертикальные. Значит, \( \angle BOC = \angle AOD = 148^{\circ} \). Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Дуга AB смежна с дугой AD, и вместе они составляют полуокружность (так как AC — диаметр).

Если \( \angle AOD = 148^{\circ} \), то \( \text{arc}(AD) = 148^{\circ} \). Так как AC — диаметр, то \( \text{arc}(ADC) = 180^{\circ} \). Тогда \( \text{arc}(CD) = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} \).

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Угол BOD — центральный угол, опирающийся на дугу BD. Углы AOD и BOC — вертикальные. Углы AOB и COD — вертикальные.

Если \( \angle AOD = 148^{\circ} \), то \( \text{arc}(AD) = 148^{\circ} \).

Поскольку AC — диаметр, дуга ABC = 180°. Дуга AB = 180° - дуга BC. Дуга CD = 180° - дуга AD = 180° - 148° = 32°.

Так как BD — диаметр, дуга BCD = 180°. Дуга BC = 180° - дуга CD = 180° - 32° = 148°.

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Найдем дугу AB. Дуга AB = 360° - дуга AD - дуга CD - дуга BC = 360° - 148° - 32° - 148° = 360° - 328° = 32°.

Если AC — диаметр, то \( \text{arc}(ABC) = 180^{\circ} \). \( \text{arc}(AB) = 180^{\circ} - \text{arc}(BC) \).

Угол AOD = 148°. Это центральный угол, опирающийся на дугу AD. Значит, \( \text{arc}(AD) = 148^{\circ} \).

Так как AC — диаметр, то дуга ADC = 180°. \( \text{arc}(CD) = 180^{\circ} - \text{arc}(AD) = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} \).

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB.

Так как BD — диаметр, то \( \text{arc}(BCD) = 180^{\circ} \). \( \text{arc}(BC) = 180^{\circ} - \text{arc}(CD) = 180^{\circ} - 32^{\circ} = 148^{\circ} \).

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Дуга AB = 360° - дуга AD - дуга DC - дуга CB = 360° - 148° - 32° - 148° = 32°.

Угол ACB равен половине дуги AB. \( \angle ACB = \frac{1}{2} \text{arc}(AB) \).

Найдем дугу AB. Так как AC — диаметр, то дуга ABC = 180°. \( \text{arc}(AB) = 180^{\circ} - \text{arc}(BC) \). Угол BOD — центральный, \( \angle BOD = \angle AOD = 148^{\circ} \) (вертикальные углы).

Угол AOB — смежный с углом AOD, значит \( \angle AOB = 180^{\circ} - 148^{\circ} = 32^{\circ} \). Дуга AB = \( \angle AOB = 32^{\circ} \).

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, \( \angle ACB = \frac{1}{2} \text{arc}(AB) = \frac{1}{2} \times 32^{\circ} = 16^{\circ} \).

Ответ: 16