В окружности с центром в точке О проведены две хорды AB и CD. Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке Ѕ, лежащей вне окружности. Найдите OS, если длина хорды CD равна 2√46, а расстояния от точки S до точек А и В соответственно равны 18 и 3.

Обозначим точку пересечения прямых AB и CD через S. Пусть SA = 18 и SB = 3. Тогда по свойству пересекающихся хорд (внешняя точка) SA \* SB = SC \* SD, то есть 18 \* 3 = SC \* SD, откуда SC \* SD = 54.
Пусть SC = x, тогда SD = x + 2√46. Получаем уравнение x(x + 2√46) = 54.
Раскрываем скобки: x² + 2√46x - 54 = 0. Решаем квадратное уравнение относительно x.
Дискриминант D = (2√46)² - 4 \* 1 \* (-54) = 4 \* 46 + 216 = 184 + 216 = 400.
Тогда x₁ = (-2√46 + √400) / 2 = (-2√46 + 20) / 2 = 10 - √46 и x₂ = (-2√46 - 20) / 2 = -10 - √46.
Так как расстояние не может быть отрицательным, то SC = 10 - √46.
Тогда SD = 10 - √46 + 2√46 = 10 + √46.
Пусть M и N – середины хорд AB и CD соответственно. Тогда OM ⊥ AB и ON ⊥ CD, а также AM = (18 + 3) / 2 = 21 / 2 = 10.5 и CN = 2√46 / 2 = √46.
Кроме того, SM = SA - AM = 18 - 10.5 = 7.5 и SN = SC + CN = 10 - √46 - √46 = 10 - 2√46.
Так как AB ⊥ CD, то OMSN – прямоугольник, и следовательно, OM = SN и ON = SM.
Тогда OM = 10 - 2√46 и ON = 7.5.
В прямоугольном треугольнике OMA: OA² = OM² + AM² = (10 - 2√46)² + (21/2)² = 100 - 40√46 + 4 \* 46 + 441/4 = 100 - 40√46 + 184 + 110.25 = 394.25 - 40√46.
В прямоугольном треугольнике ONC: OC² = ON² + CN² = (15/2)² + (√46)² = 225/4 + 46 = 56.25 + 46 = 102.25.
Заметим, что OA = OC = R, где R - радиус окружности. Должно выполняться равенство 394.25 - 40√46 = 102.25, но это не так, значит, где-то ошибка.
Сделаем проверку: SC = 10 - √46 ≈ 3.2175 и SD = 10 + √46 ≈ 16.7825, тогда SC \* SD = (10 - √46)(10 + √46) = 100 - 46 = 54.
Точка S лежит вне окружности. OMSN - прямоугольник.
Тогда OS² = OM² + SM² = (10 - 2√46)² + (15/2)² = 100 - 40√46 + 4 \* 46 + 225/4 = 100 - 40√46 + 184 + 56.25 = 340.25 - 40√46
Тогда OS = √(340.25 - 40√46) ≈ √(340.25 - 270.83) ≈ √69.42 ≈ 8.33.

Ответ: 8.33