В окружности с центром в точке О проведён диаметр АВ. Точка С лежит на окружности таким образом, что АС = ВС. Найди ∠ACB.

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \( \triangle ACB \), вписанный в окружность. Так как \( AC = BC \), то дуги, на которые опираются эти хорды, равны: дуга \( AC \) = дуга \( BC \).

Диаметр \( AB \) делит окружность на две полуокружности. Сумма дуг \( AC \) и \( BC \) равна дуге \( AB \) (полуокружности), если \( C \) лежит на одной из полуокружностей. Так как дуга \( AC \) = дуга \( BC \), то каждая из этих дуг равна половине дуги \( AB \), то есть \( \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ \).

Угол \( \angle ACB \) является вписанным углом, который опирается на дугу \( AB \). Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB \) = \( \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ \).

Альтернативное рассуждение: вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой (равен \( 90^\circ \)). Поскольку \( AB \) — диаметр, то \( \angle ACB = 90^\circ \).

Ответ: \( \angle ACB = 90^\circ \).