В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб с диагоналями BD = 5√2 и АС = 8. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Найди площадь сечения пирамиды плоскостью (ASC), если градусная мера двугранного угла SACB равна 45°.

Решение:

1. Находим площадь основания:

   Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

   \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \]

2. Находим сторону ромба:

   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC, где OC = AC/2 = 8/2 = 4, а OB = BD/2 = 5√2/2.

   По теореме Пифагора найдем сторону ромба BC:

   \[ BC^2 = OB^2 + OC^2 = \left( \frac{5\sqrt{2}}{2} \right)^2 + 4^2 = \frac{25 \cdot 2}{4} + 16 = \frac{50}{4} + 16 = 12.5 + 16 = 28.5 \]

   \[ BC = \sqrt{28.5} \]

3. Находим высоту пирамиды:

   Двугранный угол SACB равен 45°. Это угол между плоскостями ASC и ABC. Угол между плоскостями — это угол между их нормалями. В данном случае, так как SB перпендикулярно плоскости основания, то SB является высотой пирамиды.

   Рассмотрим треугольник SBC. Он является прямоугольным, так как SB перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку B, в том числе BC.

   Угол между плоскостями ASC и ABC. Плоскость ASC содержит высоту пирамиды SB, так как S — вершина, а AC — диагональ основания, и SB перпендикулярно AC (в ромбе диагонали перпендикулярны).

   Угол SACB равен 45°. Это угол между прямой SC и плоскостью основания ABC.

   В прямоугольном треугольнике SBC:

   \[ \text{tg}(45^\circ) = \frac{SB}{BC} \]

   \[ 1 = \frac{SB}{\sqrt{28.5}} \]

   \[ SB = \sqrt{28.5} \]

4. Находим площадь сечения ASC:

   Площадь треугольника ASC равна:

   \[ S_{ASC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SB \]

   Мы знаем, что AC = 8 и SB = √28.5.

   \[ S_{ASC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{28.5} = 4\sqrt{28.5} \]

Ответ: 4√28.5