В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб с диагоналями BD = 9√2 и АС = 16. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Найди площадь сечения пирамиды плоскостью (ASC), если градусная мера двугранного угла SACB равна 45°.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем площадь основания ромба ABCD.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей:

\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{2} \cdot 16 = 72\sqrt{2}\]

• Шаг 2: Найдем сторону ромба AB.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, где O - точка пересечения диагоналей. Тогда:

\[AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\]

\[BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}\]

По теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{64 + \frac{81 \cdot 2}{4}} = \sqrt{64 + \frac{81}{2}} = \sqrt{\frac{128 + 81}{2}} = \sqrt{\frac{209}{2}}\]

• Шаг 3: Найдем высоту пирамиды SB.

Рассмотрим треугольник SAC. Пусть угол SACB равен 45°. Так как SB перпендикулярно плоскости основания, то треугольник SBC - прямоугольный. Пусть O - точка пересечения диагоналей ромба. Тогда OC = AO = 8.

Из прямоугольного треугольника SBC:

\[\angle SCB = 45^\circ\]

Следовательно, треугольник SBC - равнобедренный, и SB = BC. Так как ромб, то BC = AB.

\[SB = BC = AB = \sqrt{\frac{209}{2}}\]

• Шаг 4: Найдем площадь треугольника ASC.

Площадь треугольника ASC можно найти как:

\[S_{ASC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO\]

Где SO - высота треугольника ASC. Так как SB перпендикулярна плоскости основания, то SO можно найти из прямоугольного треугольника SBO:

\[SO = \sqrt{SB^2 + BO^2} = \sqrt{\frac{209}{2} + \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{209}{2} + \frac{81 \cdot 2}{4}} = \sqrt{\frac{209}{2} + \frac{81}{2}} = \sqrt{\frac{290}{2}} = \sqrt{145}\]

Тогда площадь треугольника ASC равна:

\[S_{ASC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sqrt{145} = 8\sqrt{145}\]

Ответ: 8√145