В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами √5 см, √5 см, и 4 см. Боковые рёбра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите объём пирамиды.

Пошаговое решение:

1. 1. Площадь основания (S_осн):
   Основание — равнобедренный треугольник со сторонами \( \sqrt{5} \text{ см}, \sqrt{5} \text{ см}, 4 \text{ см} \). Найдем высоту этого треугольника к основанию 4 см. По теореме Пифагора: \( h_{осн}^2 = (\sqrt{5})^2 - (4/2)^2 = 5 - 2^2 = 5 - 4 = 1 \), следовательно \( h_{осн} = 1 \) см.
   Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2 \) см².
2. 2. Высота пирамиды (H):
   Боковые рёбра наклонены к основанию под углом 45°. Это означает, что угол между боковым ребром и его проекцией на основание равен 45°. Центр вписанной в основание окружности не является основанием высоты, так как это не правильная пирамида. В данном случае, апофема к стороне 4 см является высотой боковой грани. Найдем её: \( a = \sqrt{H^2 + r_{опов}^2} \).
   Другой подход: высота пирамиды H, радиус вписанной окружности r и апофема b связаны соотношением: \( b = H \cdot \cos(45^ ext{o}) \) и \( b = r \cdot \frac{1}{\sin(45^ ext{o})} \).
   Чтобы найти высоту, нам нужно знать центр основания. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности находится на медиане. Медиана к основанию 4 см равна 1 см.
   Пусть r — радиус вписанной окружности. По формуле площади: \( S = p \cdot r \), где p — полупериметр. \( p = (\sqrt{5} + \sqrt{5} + 4) / 2 = (2\sqrt{5} + 4) / 2 = \sqrt{5} + 2 \).
   \( 2 = (\sqrt{5} + 2) \cdot r \), откуда \( r = \frac{2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = 2(\sqrt{5} - 2) \) см.
   Угол наклона бокового ребра к основанию (45°) подразумевает, что проекция вершины на основание – это центр описанной окружности, если бы речь шла о правильной пирамиде. Однако, условие говорит о наклоне ребер, а не граней.
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом описанной окружности (R) и боковым ребром (L). В равнобедренном треугольнике основание R = a*b*c / (4*S), где a,b,c - стороны, S - площадь.
   \( R = (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot 4) / (4 \cdot 2) = 20 / 8 = 2.5 \) см.
   Угол наклона бокового ребра к основанию равен 45°. Значит, \( an(45^ ext{o}) = H/R \).
   \( 1 = H / 2.5 \), следовательно \( H = 2.5 \) см.
3. 3. Объем пирамиды (V):
   \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2.5 = \frac{5}{3} \) см³.

Ответ: 5/3 см³