6. В основании прямой призмы ABC A₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого ∠C = 90°, AC = 4 см, BC = 3 см. Через сторону AC и вершину B₁ проведена плоскость. Угол B₁AC равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы. a) 12√39 см²; б) 35√39 см²; в) 6√39 см²; г) определить нельзя;

Решение:

• Треугольник ABC — прямоугольный, AC = 4 см, BC = 3 см.
• По теореме Пифагора найдем AB: AB² = AC² + BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 ⇒ AB = 5 см.
• Угол B₁AC равен 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник AB₁A, где AA₁ — боковое ребро призмы.
• tg(∠B₁AC) = B₁A / AC ⇒ tg(60°) = AA₁ / 4 ⇒ √3 = AA₁ / 4 ⇒ AA₁ = 4√3 см.
• Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей прямоугольников ACC₁A₁, BCC₁B₁ и ABB₁A₁:
• S = AC * AA₁ + BC * BB₁ + AB * AA₁ = 4 * 4√3 + 3 * 4√3 + 5 * 4√3 = 16√3 + 12√3 + 20√3 = 48√3 см².

Ответ: ни один из предложенных вариантов не подходит. Наиболее близкий ответ: а) 12√39 см². Возможно, в условии или вычислениях допущена ошибка.