5. В основании прямой призмы ABC A₁B₁C₁ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, у которого ∠C = 90°, а гипотенуза равна 6√2 см. Через сторону AB и вершину C₁ проведено сечение. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, если длина бокового ребра равна 3 см. a) 45°; б) arctg 1/2; в) arctg 2; г) arctg √2/2; д) arctg √2.

Решение:

• Так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, то AC = BC. Обозначим их за x.
• По теореме Пифагора: AC² + BC² = AB² ⇒ x² + x² = (6√2)² ⇒ 2x² = 72 ⇒ x² = 36 ⇒ x = 6 см.
• Пусть M — середина AB. Тогда CM — медиана и высота в равнобедренном треугольнике ABC. Значит, CM = AB/2 = (6√2)/2 = 3√2 см.
• Сечение проходит через сторону AB и вершину C₁, значит, плоскость сечения — это треугольник ABC₁. Рассмотрим прямоугольный треугольник C₁MC, где C₁C — боковое ребро призмы, равное 3 см.
• Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания — это угол C₁MC. Найдем тангенс этого угла: tg(∠C₁MC) = C₁C / CM = 3 / (3√2) = 1/√2 = √2 / 2.
• Таким образом, ∠C₁MC = arctg(√2 / 2).

Ответ: г) arctg √2/2.