В основании треугольной пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Ребро DB пирамиды перпендикулярно плоскости основания. Найди площадь треугольника АВС, если АВ = 12, а ребро DC, равное 10, образует с плоскостью (ABD) угол 30°.

Рассмотрим треугольник DВС, он прямоугольный, так как DB перпендикулярно плоскости основания, значит, угол DВС = 90°. Угол между DC и плоскостью (ABD) - это угол между DC и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией DC на плоскость (ABD) является отрезок DВ. Следовательно, угол CDB = 30°.

В прямоугольном треугольнике DВС катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, DВ = 1/2 * DC = 1/2 * 10 = 5.

По теореме Пифагора найдем сторону ВС:

$$BC = \sqrt{DC^2 - DB^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$

Рассмотрим треугольник АВС, он прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 - 75} = \sqrt{69}$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{69} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{5}{2} \sqrt{207} = \frac{5}{2} \sqrt{9 \cdot 23} = \frac{5}{2} \cdot 3\sqrt{23} = \frac{15}{2} \sqrt{23} = 7.5\sqrt{23}$$

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{69} \cdot 5\sqrt{3} \approx 31.16$$

Ответ: 31.16