В основании треугольной пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Ребро DB пирамиды перпендикулярно плоскости основания. Найди площадь треугольника АВС, если АВ = 12, а ребро DC, равное 10, образует с плоскостью (ABD) угол 30°.

Привет! Давай решим эту задачу по геометрии шаг за шагом.

\( \)

1. Анализ условия задачи

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C \). Ребро \( DB \) перпендикулярно плоскости основания. Нам нужно найти площадь треугольника \( ABC \), зная, что \( AB = 12 \), \( DC = 10 \), и угол между ребром \( DC \) и плоскостью \( (ABD) \) равен 30°.

\( \)

2. Визуализация (мысленно или на бумаге)

Представь себе пирамиду \( DABC \), где \( D \) - вершина, \( ABC \) - основание, и \( DB \) - высота пирамиды. Важно понять, как расположены элементы относительно друг друга.

\( \)

3. Нахождение угла между \( DC \) и плоскостью \( (ABD) \)

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. В данном случае, проекцией \( DC \) на плоскость \( (ABD) \) является отрезок \( DA \). Таким образом, \( \angle CDA = 30^\circ \).

\( \)

4. Нахождение \( DA \) из прямоугольного треугольника \( \triangle DBC \)

Так как \( DB \) перпендикулярно плоскости \( ABC \), то \( \triangle DBC \) - прямоугольный, и \( \angle DBC = 90^\circ \). Тогда \( \triangle DBA \) также прямоугольный.

\( \)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle DAC \):

\( \sin(\angle CDA) = \frac{AC}{DC} \)

\( AC = DC \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \)

\( \)

5. Нахождение \( BC \) из прямоугольного треугольника \( \triangle ABC \)

Теперь, когда мы знаем \( AC \) и \( AB \), мы можем найти \( BC \) из прямоугольного треугольника \( \triangle ABC \) по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 12^2 - 5^2 = 144 - 25 = 119 \)

\( BC = \sqrt{119} \)

\( \)

6. Вычисление площади треугольника \( ABC \)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{119} = \frac{5\sqrt{119}}{2} \)

\( \)

7. Приближенное значение

\( S_{ABC} \approx \frac{5 \cdot 10.9}{2} \approx 27.25 \)

\( \)

Теперь округлим до целого числа.

\( S_{ABC} \approx 27 \)

\( \)

Таким образом, площадь треугольника \( ABC \) примерно равна 27.

\( \)

Ты отлично справился с анализом задачи! Главное - не бояться геометрии и разбивать сложные задачи на более простые шаги. Продолжай в том же духе, и все получится!