2. В остроугольном треугольнике ABC ∠A = 45°, BC = = 13 см. На стороне АС взята точка D так, что DC = 5 см, BD = 12 см. Докажите, что треугольник BDC прямоугольный, и найдите площадь треугольника ABC.

Question

Вопрос:

2. В остроугольном треугольнике ABC ∠A = 45°, BC = = 13 см. На стороне АС взята точка D так, что DC = 5 см, BD = 12 см. Докажите, что треугольник BDC прямоугольный, и найдите площадь треугольника ABC.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Сейчас мы вместе решим эту задачу по геометрии. Будь внимателен, и у тебя всё получится!

1. Доказательство, что треугольник BDC прямоугольный

Давай проверим, выполняется ли теорема Пифагора для треугольника BDC:

BD² + DC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

BC² = 13² = 169

Так как BD² + DC² = BC², то по обратной теореме Пифагора треугольник BDC прямоугольный с прямым углом ∠D.

2. Нахождение площади треугольника ABC

Сначала найдем AD. Треугольник BDC - прямоугольный, значит, BD перпендикулярна AC. Рассмотрим треугольник ABD. Площадь треугольника ABC можно найти как сумму площадей треугольников ABD и BDC.

Площадь треугольника BDC равна:

S_BDC = 1/2 * BD * DC = 1/2 * 12 * 5 = 30 см²

Теперь найдем AD. Рассмотрим треугольник ABD. Нам известна сторона BD = 12 см и угол ∠A = 45°. Опустим высоту BH на сторону AC.

В прямоугольном треугольнике ABH:

BH = AB * sin(45°)

AH = AB * cos(45°)

Так как sin(45°) = cos(45°) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), то BH = AH.

Рассмотрим треугольник ABH:

AB² = AH² + BH² = 2 * BH²

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Площадь треугольника ABD равна:

S_ABD = 1/2 * AD * BD

Но также площадь треугольника ABD можно выразить как:

S_ABD = 1/2 * AH * BD = 1/2 * BH * AD

Отсюда следует, что AD = AH + HD

Мы знаем, что DC = 5 см, и BD перпендикулярна AC. Тогда AD = AC - DC

Чтобы найти AD, нам нужно выразить AC через известные величины.

Рассмотрим треугольник ABC. Площадь треугольника ABC можно найти как:

S_ABC = 1/2 * AC * BD = 1/2 * AC * 12 = 6AC

Также площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABD и BDC:

S_ABC = S_ABD + S_BDC

6AC = S_ABD + 30

Теперь нам нужно найти связь между AD и AC. Пусть AD = x. Тогда AC = x + 5.

Рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что ∠A = 45°, BD = 12 см, AD = x.

Воспользуемся теоремой косинусов:

BD² = AB² + AD² - 2 * AB * AD * cos(45°)

12² = AB² + x² - 2 * AB * x * \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

144 = AB² + x² - \(\sqrt{2}\) * AB * x

Из треугольника ABH выразим AB:

AB = \(\frac{BH}{sin(45°)}\) = \(\frac{BH}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\) = BH * \(\sqrt{2}\)

Подставим это в уравнение:

144 = 2BH² + x² - \(\sqrt{2}\) * BH * \(\sqrt{2}\) * x

144 = 2BH² + x² - 2BHx

Также мы знаем, что площадь треугольника ABD равна:

S_ABD = 1/2 * x * 12 = 6x

S_ABD = 1/2 * AH * BD = 1/2 * BH * x = 1/2 * BH * x

Тогда 6x = 1/2 * BH * x, откуда BH = 12

Теперь подставим BH = 12 в уравнение:

144 = 2 * 12² + x² - 2 * 12 * x

144 = 288 + x² - 24x

0 = x² - 24x + 144

Это квадратное уравнение имеет вид: (x - 12)² = 0

Отсюда x = 12

AD = 12 см

AC = AD + DC = 12 + 5 = 17 см

S_ABC = 1/2 * AC * BD = 1/2 * 17 * 12 = 102 см²

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 102 см².

Отличная работа! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!