В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Известно, что AH = BC + CH, а угол ABC равен 78°. Найдите угол BAC.

Обозначим ∠BAC = A, ∠BCA = C. В прямоугольных треугольниках ABH и BHC:

AH = BH · cot A, CH = BH · cot C, BC = BH / sin C.

Из условия AH = BC + CH:

BH · cot A = BH · (1 / sin C + cot C), поэтому cot A = cot(C / 2), так как 1 / sin C + cot C = cot(C / 2).

Углы A и C / 2 острые, значит A = C / 2. По сумме углов треугольника A + C = 180° − 78° = 102°. Тогда 3A = 102°.

Ответ: 34°.