В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Известно, что AH = BC + CH и ∠ABC = 75°. Найдите ∠BAC.

Обозначим ∠BAC = A, ∠BCA = C, а BC = a.

Так как BH — высота, треугольники ABH и BCH прямоугольные. Из треугольника BCH: BH = a sin C, CH = a cos C. Из треугольника ABH: AH = BH · ctg A = a sin C · ctg A.

По условию AH = BC + CH, поэтому a sin C · ctg A = a(1 + cos C). После сокращения на a получаем sin C · ctg A = 1 + cos C, откуда ctg A = (1 + cos C) / sin C = ctg(C / 2).

Поскольку A и C / 2 — острые углы, равенство их котангенсов означает, что A = C / 2. Также A + C = 180° − 75° = 105°. Тогда 3A = 105°, откуда ∠BAC = 35°.