В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Известно, что AH = BC + CH и ∠ABC = 75°. Найдите ∠BCA.

Обозначим ∠BAC = A, ∠BCA = C, а BC = a.

Так как BH — высота, треугольники ABH и BCH прямоугольные. Из треугольника BCH: BH = a sin C, CH = a cos C. Из треугольника ABH: AH = BH · ctg A = a sin C · ctg A.

По условию AH = BC + CH, поэтому a sin C · ctg A = a(1 + cos C). После сокращения на a получаем ctg A = (1 + cos C) / sin C = ctg(C / 2). Следовательно, A = C / 2.

Сумма углов треугольника даёт A + C = 180° − 75° = 105°. Тогда 3C / 2 = 105°, откуда ∠BCA = 70°.