В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Известно, что AH = BC + CH и ∠ABC = 78°. 1. Сколько градусов составляет угол BAC?

Обозначим ∠ABH = β, ∠HBC = γ, ∠BAC = α. Так как BH — высота, треугольники ABH и BCH прямоугольные, поэтому α + β = 90°.

Пусть CH = y, BH = h. Тогда BC = √(h² + y²), а по условию AH = √(h² + y²) + y.

Следовательно, tg α = h/AH = 1/(√(1 + (y/h)²) + y/h) = √(1 + (y/h)²) − y/h. Поскольку tg γ = y/h, получаем α = 45° − γ/2.

Из α + β = 90° следует β = 45° + γ/2. Угол ABC равен β + γ, поэтому 45° + 3γ/2 = 78°, откуда γ = 22° и α = 34°.

Ответ: 34