В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Известно, что AH = BC + CH и ∠ABC = 81°. 1. Сколько градусов составляет угол BAC?

Обозначим ∠BAC = α, ∠BCA = γ. Так как ∠ABC = 81°, то α + γ = 99°.

В прямоугольном треугольнике BCH: CH = BC · cos γ, BH = BC · sin γ. В прямоугольном треугольнике ABH: AH = BH · cot α.

По условию AH = BC + CH, поэтому BC · sin γ · cot α = BC · (1 + cos γ). Сокращаем на BC и используем равенство sin γ / (1 + cos γ) = tan(γ / 2): получаем cot α = cot(γ / 2). Поскольку углы острые, α = γ / 2.

Тогда γ / 2 + γ = 99°, откуда γ = 66°, а α = 33°.

Ответ: 33°.