В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Известно, что AH = BC + CH и ∠ABC = 81°. Найдите остальные углы треугольника ABC. 1. Сколько градусов составляет угол BAC?

Обозначим ∠BAC = α, ∠BCA = γ. Тогда α + γ = 180° − 81° = 99°.

Поскольку BH — высота, треугольники ABH и CBH прямоугольные. Из них получаем AH = BH · cot α, BC = BH / sin γ и CH = BH · cot γ.

Подставим эти выражения в условие AH = BC + CH и сократим на BH:

cot α = 1 / sin γ + cot γ = (1 + cos γ) / sin γ = cot(γ / 2).

Углы α и γ / 2 острые, поэтому из равенства их котангенсов следует α = γ / 2. Вместе с α + γ = 99° это даёт 3α = 99°, откуда α = 33°.

Ответ: 33