В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Известно, что AH = BC + CH и ∠ABC = 84°. Сколько градусов составляет угол BAC?

Обозначим ∠BAC = A, ∠BCA = C. Так как BH — высота, треугольники ABH и BCH прямоугольные.

Из прямоугольных треугольников: AH = BH · ctg A, CH = BH · ctg C, BC = BH / sin C. Подставим эти выражения в условие AH = BC + CH и сократим на BH:

ctg A = 1 / sin C + ctg C = ctg(C / 2).

Поскольку A и C острые, из равенства следует A = C / 2.

Сумма углов треугольника даёт A + C = 180° − 84° = 96°. Поэтому 3A = 96°, откуда A = 32°.

Ответ: 32°.