В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, AH = BC + CH и угол ABC равен 78°. Сколько градусов составляет угол BAC?

Пусть BH = h. В прямоугольном треугольнике ABH: AH = h · ctg ∠BAC. В прямоугольном треугольнике BCH: BC = h / sin ∠BCA, а CH = h · ctg ∠BCA.

По условию AH = BC + CH, поэтому ctg ∠BAC = 1 / sin ∠BCA + ctg ∠BCA = ctg (∠BCA / 2). Следовательно, ∠BAC = ∠BCA / 2.

Сумма углов треугольника даёт ∠BAC + ∠BCA = 180° − 78° = 102°. Значит, ∠BAC = 34°.

Ответ: 34°.