В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 72°. Найдите остальные углы треугольника ABC. 1. Сколько градусов составляет угол BAC? 2. Сколько градусов составляет угол BCA?

Обозначим углы треугольника: ∠BAC = α, ∠BCA = γ. Тогда α + γ = 180° − 72° = 108°.

Поскольку BH — высота, треугольники ABH и BCH прямоугольные. Из них:

AH = BH · cot α, CH = BH · cot γ, BC = BH · csc γ.

Подставим эти выражения в условие AH = BC + CH и разделим на BH:

cot α = csc γ + cot γ = cot(γ/2).

Так как α и γ/2 острые, из равенства котангенсов следует α = γ/2. Вместе с α + γ = 108° получаем 3γ/2 = 108°, поэтому γ = 72°, α = 36°.

Ответ: 1) 36°; 2) 72°.