В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 78°. Найдите угол BAC.

Обозначим угол BAC через A, а угол BCA — через C. Так как BH — высота, треугольники ABH и CBH прямоугольные.

Из прямоугольного треугольника ABH: AH = BH · cot A. Из прямоугольного треугольника CBH: CH = BH · cot C, BC = BH · 1/sin C.

По условию AH = BC + CH, поэтому cot A = 1/sin C + cot C = (1 + cos C)/sin C = cot(C/2). Следовательно, A = C/2.

Сумма углов треугольника даёт A + C = 180° − 78° = 102°. Подставим A = C/2: 3A = 102°, откуда A = 34°.

Ответ: 34°.