В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 81°. 1. Сколько градусов составляет угол BAC?

Обозначим ∠BAC = A, ∠BCA = C. Так как BH — высота, треугольники ABH и BCH прямоугольные.

Из условия AH = BC + CH, а BC = CH / cos C. Кроме того, AH / CH = tan C / tan A. Поэтому

tan C / tan A = 1 / cos C + 1 = (1 + cos C) / cos C.

Отсюда tan A = sin C / (1 + cos C) = tan(C / 2), значит, A = C / 2.

Сумма углов треугольника: A + C = 180° − 81° = 99°. Тогда 3A = 99°, поэтому ∠BAC = 33°.